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casperyc的马甲 4月前 4861

Show that, for $n> 0$ , $\int_0^{\frac14\pi} \tan^n x \sec^2 x \, \mathrm{d} x = \frac 1 {n+1} \; \quad \text{and} \quad \int_0^{\frac14\pi} \sec ^n x \tan x \, \mathrm{d} x = \frac{(\sqrt 2)^n - 1}n .$
Evaluate the following integrals: $\int_0^{\frac14\pi} x \sec ^4 x \tan x \, \mathrm{d} x \quad \text{and} \quad \int_0^{\frac14\pi} x^2 \sec ^2 x \tan x \, \mathrm{d} x .$

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