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casperyc的马甲 2月前 322

Use the substitution $u^2=2x+1$ to show that, for $x>4$, $$ \int \frac{3} { ( x-4 ) \sqrt {2x+1}} \, \mathrm{d} x = \ln \left( \frac{\sqrt{2x+1}-3} {\sqrt{2x+1}+3} \right) + K\,, $$ where $K$ is a constant.
Show that $ \displaystyle \int_{\ln 3}^{\ln 8} \frac{2} { \mathrm{e}^x \sqrt{ \mathrm{e}^x + 1} } \, \mathrm{d} x\, = \frac 7{12} + \ln \frac23 $.

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